线性回归方程公式推导

线性回归是一种广泛应用于统计学和机器进修中的回归分析技巧，主要用于研究自变量与因变量之间的线性关系。这篇文章小编将详细推导线性回归方程的公式，帮助读者更好地领悟这一重要模型。

线性回归模型的基本概念

线性回归的基本形式可以表示为一个一元一次方程。假设我们有一组数据点，其中自变量为 ( x )，因变量为 ( y )，我们希望找到一个线性方程 ( y = wx + b )，其中 ( w ) 是斜率，( b ) 是截距。通过已知的 ( x ) 和 ( y ) 值，我们可以利用消元法求解出 ( w ) 和 ( b )。

然而，在实际应用中，自变量 ( x ) 通常不是单一的，而一个包含多个特征的矩阵 ( X )。在这种情况下，线性回归模型可以扩展为矩阵形式：

[

Y = XW + b

]

其中，( Y ) 是因变量的矩阵，( X ) 是自变量的矩阵，( W ) 是权重向量，( b ) 是偏置项。

最小二乘法与均方差

在实际应用中，我们无法找到完美的 ( W ) 和 ( b ) 使得 ( XW + b ) 完全等于 ( Y )。因此，我们的目标是最小化预测值与真诚值之间的误差。我们通常使用均方差（Mean Squared Error, MSE）作为衡量标准：

[

MSE = frac1m sum_i=1^m (y_i – haty_i)^2

]

其中，( m ) 是样本数量，( y_i ) 是真诚值，( haty_i ) 是预测值。通过最小化均方差，我们可以找到最佳的参数 ( W ) 和 ( b )。

推导经过

为了推导出线性回归的公式，我们将均方差写成如下形式：

[

J(W, b) = frac1m sum_i=1^m (y_i – (XW + b))^2

]

接下来，我们对 ( J(W, b) ) 进行求导，并令导数等于零，以找到最优解。为了简化计算，我们可以将偏置项 ( b ) 合并到权重向量中。我们可以通过在 ( X ) 中增加一列常数1来实现这一点，从而将模型转化为：

[

Y = X_new theta

]

其中，( theta ) 包含了权重和偏置项。接下来，我们对均方差进行变形，得到损失函数：

[

J(theta) = frac12m sum_i=1^m (y_i – X_new theta)^2

]

通过求导并令其等于零，我们可以得到最优的参数 ( theta ) 的计算公式：

[

theta = (X_new^T X_new)^-1 X_new^T Y

]

怎样样？经过上面的分析推导，我们得到了线性回归方程的公式，并领悟了最小二乘法在其中的应用。线性回归模型不仅在统计学中占有重要地位，也在机器进修中被广泛使用。虽然在实际应用中，我们通常不会直接使用公式来计算参数，而是采用迭代优化的技巧，但领悟其推导经过对于掌握线性回归的基本原理至关重要。希望这篇文章小编将能够帮助读者更深入地领悟线性回归方程的公式推导。